Полиномиальное распределение

Полиномиальное распределение является расширением биномиального, поэтому для описания его существа используется аналогичная математическая модель.

1. Схема независимых испытаний. Пусть в результате испытания может появиться одно из событий A₁, ..., A_n, составляющих исчерпывающее множество событий. Вероятность появления события A_i равна P{A_i} = p_i. Поскольку множество событий исчерпывающее, то p_i + ... + p_m = 1.
   Пусть проводится n независимых испытаний.
   Тогда числа X₁, ..., X_n появления событий A₁, ..., A_n в серии из n испытаний подчинены полиномиальному закону распределения.
   Так как при каждом испытании обязательно появляется одно из событий A₁, ..., A_n, то X₁ + ... + X_n = n.

2. Извлечение с возвращением. Пусть в множестве из N элементов содержится k₁ элементов с признаком B₁, ..., , k_m элементов с признаком B_m, причем k₁ + ... + k_m = N. Вероятность того, что при случайном выборе одного из элементов множества будет выбран элемент с признаком B_i равна .
   Пусть производится n независимых извлечений элементов из множества, причем после каждого извлечения и опознания элемент возвращается в множество. Пусть, наконец, опыт поставлен так, что вероятности p_i не меняются от извлечения к извлечению.
   Тогда числа X₁, ..., X_m извлечений элементов с признаками B₁, ..., B_m соответственно подчинены полиномиальному закону распределения. Так как при каждом извлечении обязательно появляется один из элементов с признаком B₁, ..., B_n, то X₁ + ... + X_n = n.

Область x	0 Ј x Ј n, x - целое
Параметры	n - целое положительное число (испытаний); p1, ..., pm - вероятности каждого из испытаний
Плотность (функция вероятности)
Математическое ожидание	npi
Дисперсия	npi(1 - pi)

Пример полиномиального распределения

В многозадочной операционной системе процесс может находиться в одном из нескольких состояний (готов, выполняется, прерван, ожидает и др.) Если предположить, что вероятность нахождения процесса с заданным приоритетом в одном из состояний есть величина постоянная, то вероятность того, что при проведении n испытаний процесс будет находиться в состояниях A₁, ..., A_m соответственно x₁, ..., x_m раз будет распределена по полиномиальному закону.

Доказательство

Рассмотрим один из возможных случаев, возникший в результате того, что процесс оказался в состояниях A₁, ..., A_m соответственно x₁, ..., x_m раз. Вероятность этого конкретного случая равна . Однако процесс может оказаться в состояниях A₁, ..., A_m соответственно x₁, ..., x_m раз несколькими способами. Число таких конкретных способов будет равно . Из этого следует, что вероятность возникновения любого из этих конкретных состояний, при которых процесс может оказаться в состояниях A₁, ..., A_m соответственно x₁, ..., x_m раз равна . Конечная формула совпадает с формулой плотности полиномиального распределения.