Распределение Пуассона

Пуассон Дени (Poisson Simeon 1781-1840) Пуассон Симеон Дени (21.6.1781-25.4.1840)- французский математик, физик, механик. Член Парижской Академии наук (1812). Родился в Питивье (департамент Луара). В 1798 г. поступил в Политехническую школу. Здесь на его способности обратили внимание П. Лаплас, Ж. Лагранж. По окончании курса был оставлен при этом учебном заведении. С 1816 г. - профессор в Сорбонне. В области небесной механики важнейшие работы Пуассона посвящены некоторым специальным задачам лунной и планетной теории, а также устойчивости солнечной системы. В теории притяжений особый интерес представляет его мемуар "О притяжении сфероидов" (1835) и статья "Замечания об уравнении теории притяжений" (1813). В 2-томном курсе механики Пуассон развил идеи Ж. Лагранжа и П. Лапласа. Пуассон основательно разработал многие разделы математической физики, дал решений многих задач электростатики и магнитостатики. В 1829 г. Пуассон положил начало теории девиации. В его исследования прикладного характера важное место занимают работы по внешней баллистике и гидродинамике. В теории упругости дал общие методы интегрирования уравнений теории упругости, построил уравнение движения при произвольных начальных данных, ввел константу, которая теперь носит его имя. Существенное значение имеют работы Пуассона, посвященные определенным интегралам, уравнениям в конечных разностях, дифференциальным уравнениями с часиными производными, теории вероятностей, вариационному исчислению, рядам. Основательно улучшил способы применения теории вероятностей вообще и к вопросам статистики в частности, а также доказал теорему, которая касалась закона больших чисел (закон Пуассона), впервые воспользовавшись терминов "закон больших числе". В общей теории уравнений Пуассону принадлежит оригинальный метод исключения переменных. В теории рядов он заложил основы современной теории суммирования расходящихся рядов. Пуассон независимо от Ф. Бесселя открыл функции, которые теперь называются бесселевыми, и дал их разложения в полурасходящиеся ряды. В дифференциальной геометрии ему принадлежит работа о кривизне поверхностей.

Одним из наиболее распространенных дискретных распределения является распределение Пуссона. По закону Пуассона распределено число случайных событий, происходящих в каком-либо интервале времени (t, t + t), если поток событий простейший с параметром l.
"Временную" модель можно заменить "пространственной", понимая под l среднюю плотность распределения точек в пространстве, а под t меру соответствующей части пространства. Тогда закон Пуассона будет описывать распределение числа точек, попавших в часть пространства меры t (в отрезок длины t, в объем t и т. д.).
Множество возможных значений случайной величины, подчиненной закону Пуассона, счетно.

Область x	0 Ј x Ј Ґ, x - целое
Параметры	l - параметр положения
Плотность (функция вероятности)
Математическое ожидание	l
Дисперсия	l

График f(x) при l = 10

Пример распределения Пуассона

Вероятность того, что за интервал времени n будет произведено x обращений к жесткому диску, подчиняется распределению Пуассона.

Доказательство

Предположим, что в среднем за интервал времени n производится m обращений к жесткому диску. Каждое обращение занимает время t. Тогда время занятости жесткого диска будет равно m ґ t < n, а вероятность его занятости в данный момент будет равна . При этом вероятность того, что за интервал времени n будет произведено x обращений к жесткому диску, подчиняется биномиальному распределению и равна . При достаточно малом t получим предел:  = . Учитывая, что , получим: . Но так как и , то в итоге мы получим , что соответствует формуле плотности для распределения Пуассона.