Распределение Паскаля

Паскаль (Pascal) Блез (19.VI.1623 - 19.VII.1662) - французский математик, физик и философ.
Блез Паскаль был третьим ребенком в семье. Его мать умерла, когда ему было только три года. В 1632 семейство Паскаля, покинуло Клермонт и отправилось в Париж. Отец Паскаля имел хорошее образование и решил непосредственно передать его сыну. Отец решил, что Блез не должен изучать математику до 15 лет, и все математические книги были удалены из их дома. Однако любопытство Блеза, толкнуло его на изучение геометрии в возрасте 12 лет. Он обнаружил, что сумма углов в любом треугольнике равна двум правильным углам. Когда это узнал отец, он смягчился и позволил Блезу изучить Эвклида.
В декабре 1639 семейство Паскаля оставило Париж, чтобы жить в Роене, куда отец был назначен налоговым сборщиком Верхней Нормандии. В 1641 (по другим источникам в 1642) Паскаль сконструировал суммирующую машину. Это был первый цифровой калькулятор, который помог его отцу с работой. Он работал на этом в течение трех лет с 1642 до 1645. Устройство, называющееся "Паскалиной", походило на механический калькулятор 1940-ых.
Машина Паскаля получила широкое применение: во Франции она оставалась в употреблении до 1799 г., а в Англии даже до 1971 года.
Блез Паскаль внес значительный вклад в развитие математики. В трактате "Опыт теории конических сечений" (1639, изд. 1640) он изложил одну из основных теорем проективной геометрии т. н. Паскаля теорему. К 1654 закончил ряд работ по арифметике, теории чисел, алгебре и теории вероятностей, опубл. в 1665 (посмертно).
Паскаль нашел общий признак делимости любого целого числа на любое другое целое число, основанный на знании суммы цифр числа, способ вычисления биноминальных коэффициентов (Арифметический треугольник); дал способ вычисления числа сочетаний из n чисел по m; сформулировал ряд основных положений элементарной теории вероятностей. Труды Паскаля, содержащие изложенный в геометрической форме интегральный метод решения ряда задач на вычисление площадей фигур, объемов и площадей поверхности тел, а также других задач, связанных с циклоидой, явились существенным шагом в развитии анализа бесконечно малых.
В физике Паскаль занимался изучением барометрического давления и вопросами гидростатики. Его философские воззрения колебались между рационализмом и скептицизмом. Занимался он и литературной деятельностью - его "Письма к провинциалу" оказали значительное влияние на развитие французской художественной прозы и театра 17-18 вв.
Блез Паскаль скончался 19 августа 1662 г. в возрасте 39 лет.

Распределение Паскаля неразрывно связано с биномиальным. Отличие состоит в том, что биномиальная случайная величина определяет вероятность m успехов в n испытаниях, а случайная величина Паскаля - вероятность x испытаний вплоть до m-го успеха (включая и этот успех).

Область x Ј x < Ґ, x - целое
Параметры m - число успехов, целое положительное число;
О (0, 1) - параметр схемы Бернулли (вероятность "успеха")
Плотность (функция вероятности)
Математическое ожидание
Дисперсия

График f(x) при m = 2, p = 0.4

Пример распределения Паскаля

Предположим, что производится считывание информации с носителя, который время от времени дает сбои. Объем считываемых данных есть величина фиксированная. Всегда считывается вся информация, хотя считывание некоторых бит удается не с первого раза. Допустим также, что вероятность сбоя любого бита есть величина постоянная. Тогда вероятность того, что потребуется x попыток для считывания m бит будет подчиняться распределению Паскаля.

Доказательство

Пусть p - вероятность успешного считывания бита. Тогда вероятность одного из конкретных вариантов, при котором потребуется x попыток для считывания m бит будет равна pm(1 - p)x - m. Однако таких конкретных вариантов окажется . В результате итоговая вероятность будет равна . Последняя формула совпадает с формулой плотности для распределения Паскаля.

К оглавлению
Сайт создан в системе uCoz