Параметры распределений

Типы распределений

Различают дискретные и непрерывные вероятностные распределения. Дискретное распределение характеризуется тем, что оно сосредоточено в конечном или счетном числе точек. Непрерывное распределение "размазано" по некоторому вещественному интервалу.

Характеристики распределений

Вероятностное распределение может быть описано несколькими эквивалентными способами. Здесь приведены лишь некоторые из них.

• Функция распределения. Определена для любого вещественного распределения. Для случайной величины X ее функцией распределения называется , .

• Плотность распределения. Определена для непрерывных распределений. Представляет собой производную от функции распределения: , .

• Функция вероятности. Альтернативный способ описания дискретных распределений. Если распределение случайной величины X сосредоточено в конечном или счетном числе точек x₁, x₂, ..., x_n, то его можно описать вероятностями принятия случайной величиной X соответствующих значений:

  Значение	x1	x2	...	xn	...
  Вероятность	p1	p2	...	pn	...

  Здесь p_k = f(x_k) = P(X = x_k), k=1,2,...,n,...

Параметры распределений

Опишем некоторые параметры распределения.

• Математическое ожидание (среднее значение) EX случайной величины X. Представляет собой интеграл вида . Для непрерывной случайной величины может быть выражено также через плотность ее распределения, , а для дискретной случайной величины - через функцию вероятности: .

• Дисперсия (рассеяние) случайной величины X имеет вид .
  

• Стандартное отклонение случайной величины X задается выражением .

• Асимметрия распределения случайной величины X: .
  Характеризует различие "хвостов" распределения; асимметрия положительна при более тяжелом правом хвосте, и отрицательна при более тяжелом левом хвосте. Для симметричных распределений асимметрия равна 0.

• Островершинность (эксцесс) распределения случайной величины X: . Характеризует тяжесть "хвостов" распределения; положительные значения этого параметра соответствуют распределениям с более тяжелыми хвостами, чем у нормального распределения.

• Медианой a = med(X) распределения случайной величины X называется корень уравнения .
  Медиана является средней характеристикой распределения в том смысле, что X с равными вероятностями принимает значения, лежащие справа и слева от a. Преимуществом медианы перед математическим ожиданием является тот факт, что математическое ожидание может быть неопределенным, если задающий его интеграл (в дискретном случае - ряд) расходится, как, например, в случае распределения Коши. Недостатком медианы является ее возможная неоднозначность для дискретных распределений. Медиана симметричного распределения совпадает с его средним значением (если последнее существует).

• Модой распределения называется наиболее вероятное значение случайной величины: в непрерывном случае - точка максимума плотности распределения, в дискретном случае - точка максимума функции вероятности. Мода распределения может быть неоднозначной, и использование этого параметра в теории риска ограничено.