Нормальное распределение

Гаусс (Gauss) Карл Фридрих (17.IV.1777–23.II.1855) Немецкий математик, астроном и физик. Родился 30 апреля 1777 в Брауншвейге. В 1796 Гауссу удалось решить задачу, не поддававшуюся усилиям геометров со времен Евклида: он нашел способ, позволяющий построить с помощью циркуля и линейки правильный 17-угольник. На самого Гаусса этот результат произвел столь сильное впечатление, что он решил посвятить себя изучению математики, а не классических языков, как предполагал вначале. В 1799 защитил докторскую диссертацию в университете Хельмштадта, в которой впервые дал строгое доказательство т. н. основной теоремы алгебры, а в 1801 опубликовал знаменитые «Арифметические исследования» (Disquisitiones arithmeticae), считающиеся началом современной теории чисел. Центральное место в книге занимает теория квадратичных форм, вычетов и сравнений второй степени, а высшим достижением является закон квадратичной взаимности – «золотая теорема», первое полное доказательство которой привел Гаусс. В 1807 Гаусс возглавил кафедру математики и астрономии в Геттингенском университете, получил должность директора Гёттингенской астрономической обсерватории. В последующие годы занимался вопросами теории гипергеометрических рядов (первое систематическое исследование сходимости рядов), механических квадратур, вековых возмущений планетных орбит, дифференциальной геометрией. Исследования в области физики, которыми Гаусс занимался с начала 1830-х годов, относятся к разным разделам этой науки. В 1832 он создал абсолютную систему мер, введя три основные единицы: 1 сек, 1 мм и 1 кг. В 1833 совместно с В. Вебером построил первый в Германии электромагнитный телеграф, связывавший обсерваторию и физический институт в Гёттингене, выполнил большую экспериментальную работу по земному магнетизму, изобрел униполярный магнитометр, а затем бифилярный (также совместно с В. Вебером), создал основы теории потенциала, в частности сформулировал основную теорему электростатики (теорема Гаусса–Остроградского). В 1840 разработал теорию построения изображений в сложных оптических системах. В 1835 создал магнитную обсерваторию при Геттингенской астрономической обсерватории. В честь Гаусса названа единица измерения магнитной индукции.

В природе и различных областях человеческой деятельности весьма распространены случайные величины, которые представляют собой сумму большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин, дисперсии которых малы по сравнению с дисперсией всей суммы. Распределения таких случайных величин больше частью бывают неизвестны и в то же время при весьма общих дополнительных условиях они хорошо аппроксимируются нормальным распределением. Этим объясняется широкое распространение последнего. Нормальное распределение применяется и в тех случаях, когда истинный закон распределения известен, но вычисления по этому закону затруднительны, а аппроксимация его нормальным распределением допустима.

Область x	-Ґ < x < Ґ
Параметры	m - параметр положения; s - параметр масштаба
Плотность (функция вероятности)
Математическое ожидание	m
Дисперсия	s2

График f(x) при m = 5, s = 1

Пример нормального распределения

Струйный принтер при печати оставляет маленькие кляксы чернил на бумаге. Если предположить, что все кляксы имеют ровные края, то плотность чернил будет распределена по нормальному закону.

Доказательство

Центральная предельная теорема гласит: "Если X₁, ..., X_n - независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие математическое ожидание и дисперсию, то при n ® Ґ закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному". Поэтому если в качестве X₁, ..., X_n взять молекулы чернил, то их сумма (то есть плотность чернил или интенсивность печати в пределах кляксы) будет распределена по нормальному закону.