Распределение Эрланга

Агнер Краруп Эрланг 1878-1929, родился в Дании В юности любимым предметом А. К. Эрланга была астрономия. Он прошел предварительные экзамены с отличием в Копенгагенский Университет в возрасте 14 лет, после того, как ему было дано специальное разрешение сдавать экзамены из-за его молодого возраста. В течение следующих двух лет он остался дома, преподавая в своей деревенской школе (где его отец был учителем). В 1896 г., он добился обучения в Копенгагенском Университете и закончил его в 1901 г., изучив математику, а также астрономию, физику и химию. В течение следующих 7 лет он преподавал в различных школах перед приходом в Копенгагенскую Телефонную Компанию в 1908 году как научный сотрудник и позднее глава этой лаборатории. Его карьера в телефонной компании длилась 20 лет вплоть до смерти. Эрланг начал работу, применяющую теорию вероятности к проблемам телефонному траффику. Он посвятил все свое время работе, часто работая поздно ночью. Он никогда не женился и почти никогда не требовал времени отпуска ввиду болезни. Он часто делал его собственные практические измерения на улицах и люках Копенгагена. Его первая работа была издана в 1909 году и доказывала, что телефонные звонки распределенный беспорядочно во времени и подчиняются распределению Пуассона. Его наиболее известная работа была издана в 1917 году под названием "Решение некоторых проблем в теории вероятностей значений в автоматических телефонных станциях," теперь известная как формулы Ерланга. Работа подняла его международную репутацию, которая продолжала увеличиваться с ростом популярности теории организации очереди. Хотя модели Ерланга были просты (в то время на телефонных станциях были операторы-люди, сидящие в распределительных щитах), математика все еще служит как основание для планирования сегодняшних телефонных сетей. Термин "эрланг" использовался в Скандинавии для единиц телефонного движения и позже был принят во всем мире как стандартная единица. Много лет позднее, Ericsson создали язык программирования Erlang для крупномасштабных промышленных систем реального времени, названные в его честь. Его название - также дань чести и распределению вероятности Эрланга.

Распределение Эрланга есть не что иное, как гамма-распределение при целочисленном значении параметра формы. Часто встречается в инженерных приложениях, особенно телефонии. Распределению Эрланга подчиняются суммы квадратов модулей независимых комплексных гауссовских случайных величин c нулевыми средними значениями и одинаковыми дисперсиями, поэтому распределение Эрланга достаточно часто встречается и в теории надежности.

Область x	0 Ј x < Ґ
Параметры	k - параметр формы; q - параметр масштаба
Плотность (функция вероятности)
Математическое ожидание	kq
Дисперсия	kq2

График f(x) при k = 2, q = 2

Пример распределения Эрланга

Самым посещаемым сайтом в интернете является Yahoo. Существует закономерность, что каждый следующий по посещаемости сайт имеет посещений вдвое меньше, чем предыдущий. Предположим, что эта закономерность точная. Тогда количество посещений за день может быть описано при помощь распределения Эрланга.

Доказательство

Пусть S - количество посещений за день сайта Yahoo. Тогда сайт, стоящий на n-м месте будет иметь следующее количество посещений: S ґ 2^-(n - 1). Преобразуем полученное выражение: S ґ e^{-(n - 1) ln 2}. Введем новую переменную: x = (n - 1) ln 2. Тогда получим следующую формулу: S ґ e^-x. Последняя формула соответствует формуле для плотности распределения Эрланга при k = 1, q = 1.