Распределение Коши

Коши (Cauchi Augustin Louis 1789-1857) Огюстен Коши родился 21 августа 1789г. в Париже в семье видного чиновника. Его отец был ревностный католик и роялист. В начале с Коши занимался его отец, прекрасный лингвист, а в 1805 г. Огюстен поступил в Политехническую школу, затем в 1807 г.- в Школу мостов и дорог, которую окончил в 1810 г. Лагранж отметил выдающиеся математические способности юноши и предсказал ему блестящее будущее. После окончания инженерной школы Коши получил ответсвенное поручение по постройке военного порта в Шербуре. Здесь в 1811 г. он написал свой первый мемуар о многогранниках, где решил некоторые вопросы, не поддававшиеся первоклассным математикам. Затем последовали еще мемуары по теории многогранников, о симметрических функциях, алгебраических уравнениях, по теории чисел. В 1816 г. Коши представил на конкурс Парижской академии наук знаменитое исследование по теории волн на поверхности тяжелой жидкости и получил премию. В этом же году он был назначен правительством членом Института Франции. Тогда же началась интенсивная преподавательская деятельность Коши: с 1816 г. он профессор Политехнической школы, в 1816-1830 гг.- Сорбонны, в 1848-1857 гг.- Колледж де Франс. Им написаны "Курс анализа" (1821 г.), "Резюме лекций, прочитанных в Королевской политехнической школе" (1823 г.), "Лекции о приложении анализа к геометрии" (1826-1828). В этих курсах Коши дал определение непрерывности функции, построил строгую теорию сходящихся рядов, ввел определенный интеграл как предел интегральных сумм. Вся система анализа построена на базе предела. Книги Коши долгое время служили образцом для курса анализа. Революция 1830 г. и изгнание Карла X резко изменили судьбу Коши: не считая возможным изменить присяге Карла X, он отказался присягнуть правительству Луи Филиппа, потерял должности и вынужден был покинуть Францию. Некоторое время он провел в Швейцарии, затем получил место в Туринском университете на кафедре математической физики. Карл X, поселившийся в Праге, пригласил Коши в 1832 г. в качестве учителя и воспитателя сына. Коши несколько лет путешествовал с ним по Европе. Так было до 1838 г. Коши предлагали различные должности, но он отказывался от них, руководствуясь своими католическими и роялистическими убеждениями. Во Франции и в Институт он вернулся в 1838 г. Революция 1848 г. отменила присягу, и Коши получил кафедру в Колледже де Франс, где и проработал до самой смерти. Умер Коши 22 мая 1857 г. Коши принадлежит определение определенного интеграла. Неопределенный интеграл Коши ввел как частный случай определенного, при переменном верхнем пределе. Он доказал непрерывность такого интеграла по верхнему пределу, а также доказал справедливость формулы Ньютона-Лейбница. Кроме того, Коши исследовал несобственный интеграл.

Отличительной особенностью распределения Коши являются очень тяжелые хвосты. В частности, не существует ни один из моментов этого распределения, даже математическое ожидание.

Область x	-Ґ < x < Ґ
Параметры	x0 - параметр расположения; h - парамерт масштаба
Плотность (функция вероятности)
Математическое ожидание	Не существует
Дисперсия	Не существует

График f(x) при x₀ = 10, h = 0.8

Пример распределения Коши

Предположим, что имеется программа, которая вводит массив, затем его сортирует методом простого выбора, а после этого выводит. При этом число элементов в массиве произвольно (условимся, что оно подчинено равномерному распределению). Тогда быстрота работы программы будет подчиняться распределению Коши.

Доказательство

Пусть n - количество элементов в массиве. При вводе и выводе массива потребуется по n "тяжеловесных" по времени операций (ввод и вывод). На этапе сортировки производится сравнение каждого элемента кроме последнего со всеми остальными (следует заметить, что алгоритм можно улучшить, если не "пробегать" по уже отсортированной части), т. е. имеем еще (n - 1)(n - 1) "тяжеловесных" по времени операций. В итоге получаем n² - 2n + 1 + 2n = n² + 1 "задержек" времени. Так как быстрота работы программы является величиной, обратно пропорциональной времени, то в итоге получим . Если закрыть глаза на отсутствие p, то оследняя формула соответствует формуле плотности для распределения Коши при нулевом параметре расположения и единичном параметре масштаба.