Биномиальное распределение

Бернулли Якоб (27.12.1654, Базель, — 16.8.1705, там же), (1654-1705), брат Иоганна Бернулли; профессор математики Базельского университета (с 1687). По обычаю молодых людей того времени после окончания университета он отправился путешествовать, служил домашним учителем в Генуе, а с 1683 года приступил к чтению лекций по экспериментальной физике в Базеле, где позже стал профессором математики. Его лекции слушали брат Иоганн, племянник Николай, будущий член Петербургской Академии наук математик и механик Я.Герман, отец будущего великого математика Пауль Эйлер. Как-то внимание Якоба Бернулли привлекла статья Г.В.Лейбница в журнале “Труды ученых” за 1684 год о новом дифференциальном исчислении. Якоб обратился к автору с письмом, желая выяснить непонятные места в статье, но немецкий ученый получил его лишь через несколько лет. За это время братья Якоб и Иоганн сами разобрались в тонкостях нового исчисления. Затем Иоганн сообщил Лейбницу о том, что поставил задачу о брахистохроне (кривой наискорейшего спуска): “По какой траектории должна двигаться в вертикальной плоскости под действием силы тяжести материальная точка, чтобы путь от точки А до точки В пройти в кратчайшее время?” Он посоветовал Иоганну опубликовать ее, чтобы остроумнейшие математики за год смогли дать свое решение. Иоганн так и сделал. Решение предложили трое: Якоб Бернулли, французский математик маркиз Лопиталь и тот, кто, пожелав остаться неизвестным, напечатал ответ в английском журнале анонимно. Однако наилучшим оказался вариант Якоба. Иоганн Бернулли сформулировал и задачу о кривой, представляющей кратчайшее расстояние между двумя точками на заданной поверхности, — геодезической линии. Якобу Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, дифференциальном исчислении и теории чисел, где его именем названы числа с некоторыми определенными свойствами. Но главная заслуга ученого в том, что он сформулировал и доказал частный случай важнейшей теоремы теории вероятностей — закона больших чисел. Он был опубликован после смерти Якоба Бернулли в его книге “Искусство предположений” (1713). Через 200 лет та часть книги, что относилась к закону больших чисел, была переведена на русский язык Я.В.Успенским и издана в Петербурге под редакцией академика А.А.Маркова.

Существо широко распространенного биномиального распределения может быть объяснено на следующей модели, к которой с той или иной степенью приближаются многие практические задачи и которая может быть сформулирована двояко.

1. Схема независимых испытаний. Пусть в результате отдельного испытания событие A может осуществляться с вероятностью n. Тогда число X появления события A в n независимых испытаниях будет случайной величиной, подчиненной биномиальному закону распределения.

2. Извлечение с возвращением. Пусть в множестве из N элементов содержится k элементов с признаком B. Вероятность выбора элемента с признаком B при случайном извлечении одного элемента равна .
   Пусть производится n извлечений элементов из множества, причем после каждого извлечения и опознания элемента последний возвращается в множество. Пусть, наконец, эксперимент поставлен так, что при каждом извлечении вероятность p появления элемента с признаком B не меняется.
   Тогда число X извлечений элементов с признаком B подчинено биномиальному закону распределения.

Область x	0 Ј x Ј n, x - целое
Параметры	n - целое положительное число (испытаний); p О (0, 1) - параметр схемы Бернулли (вероятность "успеха")
Плотность (функция вероятности)
Математическое ожидание	np
Дисперсия	np(1 - p)

График f(x) при n = 30, p = 0.2

Пример биномиального распределения

Представим себе файл в виде последовательности бит на жестком диске. Предположим, что вероятность встречи единицы постоянна для данного типа файлов. Тогда количество попавшихся единиц будет распределено по биномиальному закону.

Доказательство

Рассмотрим одно из возможных состояний, возникающее в результате встречи m единиц и n - m нулей. Вероятность этого конкретного состояния будет равна p^m(1 - p)^n - m. Однако m единиц и n - m нулей могут встретиться различными способами. Количество этих способо равно . Из этого следует, что вероятность возникновения любого из состояний, при которых встречаются m единиц и n - m нулей равна . Конечная формула совпадает с формулой плотности биномиального распределения.